"src/app/workspace-admin/files/files.component.spec.ts" did not exist on "3748dcad2b1970ad4496db6d40d7e8b6b4ea054c"
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{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Seminar Problemorientierte Programmierung\n",
"\n",
"[Chapter 7: Iteration](http://greenteapress.com/thinkpython2/html/thinkpython2008.html) \n",
"\n",
"import socket\n",
"\n",
"Dieses Kapitel handelt von der Iteration - der Möglichkeit, eine Folge von Anweisungen zu wiederholen. Wir haben eine Art der Iteration unter Verwendung der Rekursion schon im [Abschnitt 5.8](seminar05.ipynb#5.8-Rekursion) gesehen und eine andere Art, mit Hilfe der `for`-Schleife, in [Abschnitt 4.2](seminar04.ipynb#4.2-Einfache-Wiederholung). In diesem Kapitel lernen wir eine weitere Variante unter Verwendung der `while`-Anweisung kennen. Aber vorher schauen wir uns noch einmal die Zuweisung eines Wertes an eine Variable an. \n",
"Beschreiben Sie in 2-3 Stichpunkten kurz was Sie im Seminar heute lernen wollen. Klicken Sie dazu doppelt auf diesen Text und bearbeiten Sie dann den Text:\n",
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Das [Modul os](https://docs.python.org/3/library/os.html) stellt Funktionen bereit, um Funktionalitäten des Betriebssystems zu nutzen. Beispielsweise können wir damit Verzeichnis-Inhalte auflisten, durch Verzeichnisse navigieren, Informationen zu Dateien bekommen und Dateieigenschaften verändern. Das folgende Programm gibt eine Liste aller Jupyter-Notebooks im aktuellen Verzeichnis zusammen mit der Dateigröße aus und berechnet die Gesamtgröße der Dateien:"
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"import os\n",
"\n",
"# Tabellenkopf ausgeben\n",
"print(\"Bytes\\tName\")\n",
"print(\"--------------------------------------------------------------\")\n",
"# Gesamtgröße in Bytes\n",
"bytes_sum = 0\n",
"# Inhalt des aktuellen Verzeichnisses durchlaufen\n",
"for entry in os.scandir():\n",
" if entry.is_file() and entry.name.endswith(\".ipynb\"):\n",
" size = entry.stat().st_size\n",
" bytes_sum +=size\n",
" print(\"{:5d}\".format(size), entry.name, sep='\\t')\n",
" \n",
"print(\"--------------------------------------------------------------\")\n",
"print(bytes_sum, \"bytes =\", bytes_sum/1000, \"kilobytes =\", bytes_sum/1000000, \"Megabytes\")"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"Wie Sie vielleicht schon herausgefunden haben, ist es erlaubt, mehr als nur eine Zuweisung an die selbe Variable durchzuführen. Durch eine neue Zuweisung verweist eine existierende Variable auf einen neuen Wert (und nicht mehr auf den alten Wert)."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"x = 5\n",
"print(x)\n",
"x = 7\n",
"print(x)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Wenn wir `x` beim ersten Mal ausgeben, ist sein Wert 5; beim zweiten Mal ist sein Wert 7.\n",
"\n",
"Die folgende Abbildung zeigt, wie diese **Neuzuweisung** (*reassignment*) in einem Zustandsdiagramm aussieht:\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"An dieser Stelle wollen wir auf eine häufige Ursache für Verwechslungen hinweisen: Da Python das Gleichheitszeichen (`=`) für die Zuweisung verwendet, ist es verlockend, eine Anweisung wie `a = b` wie eine mathematische Aussage der Gleichheit zu interpretieren, das heisst, die Behauptung, dass `a` und `b` gleich seien. Aber diese Interpretation ist falsch! \n",
"Zum Einen ist Gleichheit eine symmetrische Beziehung und die Zuweisung ist es nicht. Beispielsweise gilt in der Mathematik: wenn $a=7$, dann ist auch $7=a$. Aber in Python ist die Anweisung `a = 7` erlaubt und `7 = a` ist es nicht. \n",
"Zum Anderen ist in der Mathematik eine Aussage über die Gleichheit entweder wahr oder falsch und gilt durchgängig. Wenn $a = b$ jetzt gilt, dann wird $a$ stets gleich $b$ sein. In Python kann eine Zuweisung zwei Variablen gleich machen, sie müssen aber nicht durchgängig gleich bleiben:\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"a = 5\n",
"b = a # a und b sind jetzt gleich\n",
"a = 3 # a und b sind nicht mehr gleich\n",
"print(b)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Die dritte Zeile ändert den Wert von `a`, aber dadurch ändert sich nicht der Wert von `b`, so dass die beiden Variablen nicht mehr gleich sind.\n",
"\n",
"Variablen neue Werte zuzuweisen ist oft nützlich, aber Sie sollten vorsichtig damit umgehen. Wenn sich die Werte von Variablen häufig ändern, ist der Code schwerer zu lesen und zu debuggen. "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 7.2 Variablen aktualisieren\n",
"\n",
"Eine übliche Art der Neuzuweisung ist eine **Aktualisierung** (*update*), bei der der neue Wert vom alten Wert abhängt:\n",
"\n",
"```python\n",
"x = x + 1\n",
"```\n",
"\n",
"Das bedeutet \"nimm' den aktuellen Wert von `x`, füge eins hinzu und aktualisiere dann `x` mit dem neuen Wert\".\n",
"\n",
"Wenn wir versuchen eine Variable zu aktualisieren, die nicht existiert, erhalten wir einen Fehler, denn Python evaluiert die rechte Seite der Zuweisung bevor es den Wert der Variablen auf der linken Seite zuweist:\n"
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]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"y = y + 1"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Bevor wir eine Variable aktualisieren können, müssen wir sie **initialisieren**, typischerweise mittels einer Zuweisung:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"y = 0\n",
"y = y + 1"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Das Aktualisieren einer Variable mittels Addition der Zahl 1 wird **inkrementieren** genannt, das Subtrahieren einer 1 **dekrementieren**.\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"[Footnote Labyrinths](https://xkcd.com/1208/), Randall Munroe"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 7.3 Die `while`-Anweisung\n",
"\n",
"Computer werden häufig zur Automatisierung sich wiederholender Aufgaben genutzt. Identische oder ähnliche Aufgaben zu wiederholen ohne dabei Fehler zu machen, ist etwas was Computer sehr gut können und Menschen eher schlecht. In einem Computerprogramm wird die Wiederholung auch als **Iteration** bezeichnet. \n",
"Wir haben bereits zwei Funktionen gesehen, `countdown` und `print_t`, die mit Hilfe einer Rekursion eine Wiederholung durchführen. Da Wiederholung sehr häufig benötigt wird, gibt es in Python Sprachkonstrukte, die das vereinfachen. Eines ist die `for`-Anweisung, die wir in [Abschnitt 4.2](seminar04.ipynb#4.2-Einfache-Wiederholung) kennengelernt haben. Darauf kommen wir später noch einmal zurück.\n",
"Eine andere Möglichkeit ist die `while`-Anweisung. Dies ist eine Version von `countdown`, die eine `while`-Schleife verwendet:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def countdown(n):\n",
" while n > 0:\n",
" print(n)\n",
" n = n - 1\n",
" print(\"Abheben!\")\n",
" \n",
"# probieren Sie die Funktion aus\n",
"countdown(3)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Wir können die `while`-Anweisung fast so lesen, als wäre es natürliche Sprache: \"Solange `n` größer als 0 ist, zeige den Wert von `n` an und dann dekrementiere `n`. Sobald 0 erreicht ist, gib das Wort `Abheben!` aus.\"\n",
"\n",
"Der Kontrollfluss der `while`-Schleife etwas formaler ausgedrückt sieht so aus:\n",
"\n",
"1. Bestimme ob die Bedingung wahr oder falsch ist.\n",
"2. Wenn die Bedingung unwahr ist, beende die `while`-Schleife und fahre mit der Ausführung der nächsten Anweisung nach der eingerückten Folge von Anweisungen fort.\n",
"3. Wenn die Bedingung wahr ist, führe die eingerückte Folge von Anweisungen im Schleifenrumpf aus und gehe dann zu Schritt 1 zurück.\n",
"\n",
"Diese Art von Kontrollfluss wird Schleife genannt, weil der dritte Schritt wieder zum ersten Schritt springt und damit den Kreis (Schleife) schließt. (Im Englischen Original passt es besser: *This type of flow is called a loop because the third step loops back around to the top*.)\n",
"\n",
"Der Schleifenrumpf sollte den Wert einer oder mehrerer Variablen ändern, sodass die Bedingung irgendwann einmal unwahr wird und die Schleife beendet wird. Ansonsten wiederholt sich die Schleife für immer, was **Endlosschleife** (*infinite loop*) genannt wird.\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"[Joe Ravi](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Apple_Campus_One_Infinite_Loop_Sign.jpg)\n",
"\n",
"Im Fall von `countdown` können wir zeigen, dass die Schleife beendet wird: wenn `n` Null oder negativ ist, dann wird die Schleife niemals ausgeführt. Ansonsten wird `n` bei jedem Schleifendurchlauf verringert, so dass wir irgendwann 0 erreichen.\n",
"\n",
"Bei anderen Schleifen ist das nicht unbedingt so einfach zu sehen, zum Beispiel hier:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def sequence(n):\n",
" while n != 1:\n",
" print(n)\n",
" if n % 2 == 0: # n ist gerade\n",
" else: # n ist ungerade\n",
" n = n*3 + 1"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Die Schleifenbedingung ist hier `n != 1`, daher läuft die Schleife so lange, bis `n` gleich `1` ist, wodurch die Bedingung nicht mehr erfüllt ist.\n",
"\n",
"Bei jedem Schleifendurchlauf gibt das Programm den Wert von `n` aus und prüft dann, ob es eine gerade oder eine ungerade Zahl ist. Falls `n` eine gerade Zahl ist, wird `n` durch zwei geteilt. Falls `n` ungerade ist, wird der Wert von `n` ersetzt durch `n*3 + 1`. Übergeben wir der Funktion `sequence` beispielsweise 3 als Argument, dann sind die sich ergebenden Werte von `n` 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Probieren Sie es selbst für verschiedene Argumente aus:\n"
]
},
{
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"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"sequence(23)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Da `n` manchmal wächst und manchmal schrumpft gibt es keinen offensichtlichen Beweis, dass `n` jemals 1 erreichen wird oder das Programm beendet wird. Für einige bestimmte Werte von `n` können wir zeigen, dass das Programm beendet wird. Wenn beispielsweise der Startwert eine Potenz von 2 ist (2, 4, 8, 16, 32, ...), dann ist `n` bei jedem Schleifendurchlauf eine gerade Zahl (und wird daher halbiert) bis die Schleife den Wert 1 erreicht. Das eben genannte Beispiel endet mit einer solchen Folge, die mir der Zahl 16 beginnt.\n",
"Die schwierige Frage ist, ob wir beweisen können, dass dieses Programm für *jeden* positiven Wert von `n` beendet wird. Bis jetzt hat es noch niemand geschafft, dies zu beweisen. \n",
"Es hat aber auch noch niemand geschafft das Gegenteil zu beweisen. [Collatz-Problem](https://de.wikipedia.org/wiki/Collatz-Problem).\n",
"\n",
"\n",
"[Collatz Conjecture](https://xkcd.com/710/), Randall Munroe\n",
"\n",
"Schreiben Sie als Übung die Funktion `print_n` aus [Abschnitt 5.8](seminar05.ipynb#5.8-Rekursion) so um, dass eine Schleife statt der Rekursion verwendet wird:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def print_n(s, n):\n",
" # Implementieren Sie hier die Funktion mit Hilfe einer Schleife und ohne Rekursion\n",
" \n",
"\n",
"# Testaufruf\n",
"print_n(\"hallo\", 3)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 7.4 `break`\n",
"\n",
"Manchmal wissen wir nicht, dass es Zeit wird eine Schleife zu beenden, bis wir den Schleifenrumpf bereits zur Hälfte ausgeführt haben. In einem solchen Fall können wir die `break`-Anweisung nutzen, um eine Schleife zu verlassen.\n",
"Nehmen wir beispielsweise an, wir wollen eine Eingabe von der Nutzer_in einlesen bis sie `fertig` eingibt. Dann könnten wir folgendes schreiben:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"while True:\n",
" line = input('> ')\n",
" if line == 'fertig':\n",
" break\n",
" print(line)\n",
"\n",
"print('Fertig!')"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Die Schleifenbedingung ist `True`, was stets wahr ist, daher läuft die Schleife so lange, bis die `break`-Anweisung erreicht wird.\n",
"\n",
"Bei jedem Durchlauf wird die Nutzer_in aufgefordert, etwas einzugeben. Wenn Sie `fertig` eingibt, dann beendet die `break`-Anweisung die Schleife. Ansonsten gibt das Programm einfach nur aus, was die Nutzer_in eingegeben hat und geht zurück zum Anfang der Schleife. Probieren Sie es selbst einmal aus.\n",
"\n",
"Diese Art eine `while`-Schleife zu nutzen ist üblich, denn wir können die Bedingung überall innerhalb der Schleife prüfen (nicht nur am Anfang) und wir können die Abbruchbedingung positiv formulieren (\"beende die Schleife, wenn folgendes passiert\") statt negativ (\"fahre fort bis folgendes passiert\")."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 7.5 Quadratwurzeln\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"[Estimation](https://xkcd.com/612/), Randall Munroe\n",
"\n",
337
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"Schleifen werden häufig in Programmen genutzt, die numerische Werte berechnen, indem sie mit einem Näherungswert beginnen und diesen iterativ verbessern. \n",
"\n",
"Beispielsweise kann die Quadratwurzel einer Zahl mit dem [Newton-Verfahren](https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren) berechnet werden. Angenommen, wir wollen die Quadratwurzel von $a$ berechnen. Wenn wir mit einem (fast beliebigen) Näherungswert $x$ beginnen, können wir einen besseren Näherungswert $y$ mit der folgenden Formel berechnen:\n",
"\n",
"\\begin{equation}\n",
"y = \\frac{x + a/x}{2}\n",
"\\end{equation}\n",
"\n",
"Wenn beispielsweise $a$ gleich 4 ist und $x$ gleich 3:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"a = 4\n",
"x = 3\n",
"y = (x + a/x) / 2\n",
"y"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Das Ergebnis ist näher an der richtigen Antwort ($\\sqrt{4} = 2$). Wenn wir den Vorgang mit dem neuen Näherungswert wiederholen, kommen wir noch näher heran:"
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]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"x = y\n",
"y = (x + a/x) / 2\n",
"y "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Nach ein paar mehr Aktualisierungen ist die Näherung fast exakt:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"x = y\n",
"y = (x + a/x) / 2\n",
"y"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"x = y\n",
"y = (x + a/x) / 2\n",
"y "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Im Allgemeinen wissen wir anfangs nicht, wie viele Schritte nötig sind, um die richtige Antwort zu erhalten, aber wir wissen es, wenn sich der Näherungswert nicht mehr verändert:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"x = y\n",
"y = (x + a/x) / 2\n",
"y "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"x = y\n",
"y = (x + a/x) / 2\n",
"y "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Sobald `x == y` gilt, können wir abbrechen. Im Folgenden eine Schleife, die mit einem Näherungswert `x` beginnt und diesen verbessert, bis er sich nicht mehr ändert:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"a = 4\n",
"x = 3\n",
"\n",
"while True:\n",
" print(x)\n",
" y = (x + a/x) / 2\n",
" if y == x:\n",
" break\n",
" x = y\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Für die meisten Werte von `a` funktioniert das sehr gut aber im Allgemeinen ist es gefährlich, die Gleichheit von Gleitkommazahlen zu testen. Gleitkommazahlen sind nur ungefähr exakt: die meisten rationalen Zahlen wie z.B. 1/3 und irrationale Zahlen wie z.B. $\\sqrt{2}$ können nicht exakt als Gleitkommazahl repräsentiert werden. \n",
"\n",
"Statt zu prüfen ob `x` und `y` exakt gleich sind ist es sicherer, die eingebaute Funktion `abs` zu nutzen, um den Absolutbetrag des Unterschieds zwischen den beiden Zahlen zu berechnen:\n",
"\n",
"```python\n",
"if abs(y-x) < epsilon:\n",
" break\n",
"```\n",
"\n",
"Wobei wir für `epsilon` einen sehr kleinen Wert wie z.B. `0.0000001` wählen sollten, der bestimmt, welche Näherung gut genug für uns ist. "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 7.6 Algorithmen\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"[Algorithms](https://xkcd.com/1667/), Randall Munroe\n",
"\n",
"Das Newton-Verfahren ist ein klassisches Beispiel für einen **Algorithmus**: ein Prozess zur Lösung einer bestimmten Problemklasse (in diesem Fall die Berechnung von Quadratwurzeln). \n",
"\n",
"Um zu verstehen, was ein Algorithmus ist, hilft es vielleicht, sich etwas anzuschauen, was kein Algorithmus ist. Als Sie (wohl in der Grundschule) gelernt haben, Zahlen mit nur einer Ziffer zu multiplizieren, haben Sie wahrscheinlich die Multiplikationstabelle (das [Kleine Einmaleins](https://de.wikipedia.org/wiki/Einmaleins)) auswendig gelernt. Effektiv haben Sie sich damit also 100 verschiedene Lösungen gemerkt. Diese Art von Wissen ist nicht algorithmisch.\n",
"\n",
"Aber wenn Sie \"faul\" waren, haben Sie vielleicht ein paar Tricks gelernt. Beispielsweise kann man das Produkt einer Zahl $n$ mit 9 berechnen, indem man $n-1$ als erste Ziffer des Ergebnisses aufschreibt und dann $10-n$ als zweite Ziffer anhängt. Dieser Trick ist eine allgemeine Lösung, um jede Zahl mit nur einer Ziffer mit 9 zu multiplizieren. Das ist ein Algorithmus!\n",
"Genauso sind die Verfahren zur schriftlichen Addition (mit Übertrag), Subtraktion und Division Algorithmen. Eine Eigenschaft von Algorithmen ist, dass Sie keine Intelligenz benötigen, um ausgeführt zu werden. Sie sind mechanische Prozesse bei denen jeder Schritt auf den vorherigen mittels einfacher und eindeutiger Regeln folgt.\n",
"Algorithmen auszuführen ist langweilig aber sie zu entwerfen ist interessant, intellektuell herausfordernd und ein wesentlicher Teil der Informatik.\n",
"\n",
"Einige Dinge die Menschen natürlicherweise tun - ohne Schwierigkeiten oder bewusst einen Gedanken daran zu verschwenden - gehören zu den am schwersten repräsentierbaren Algorithmen. Sprachverstehen ist ein gutes Beispiel. Wir alle machen das ständig aber noch niemand konnte richtig erklären *wie* wir das machen - zumindest nicht in Form eines Algorithmus.\n"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 7.7 Debugging\n",
"\n",
"Sobald Sie größere Programme schreiben werden Sie bemerken, dass Sie mehr Zeit mit Debuggen verbringen. Mehr Programmcode bedeutet halt auch, dass es mehr Möglichkeiten gibt, einen Fehler zu machen und mehr Stellen, an denen sich \"Bugs\" verstecken können.\n",
"Eine Möglichkeit die Zeit für das Debuggen zu reduzieren ist \"Debugging durch Halbieren\" (denken Sie an die binäre Suche). Wenn Ihr Programm beispielsweise 100 Zeilen hat und Sie jede Zeile einzeln prüfen würden, dann bräuchten Sie 100 Schritte zum Debuggen.\n",
"Stattdessen können Sie versuchen, das Problem zu halbieren. Gehen Sie (ungefähr) zur Hälfte des Programms und suchen Sie dort nach einem Zwischenwert (eine Variable), den Sie überprüfen können. Fügen Sie eine `print`-Anweisung, die den Zwischenwert ausgibt (oder etwas anderes, was einen prüfbare Auswirkung hat), hinzu und starten Sie das Programm.\n",
"\n",
"Wenn diese Überprüfung in der Mitte das falsche Ergebnis ausgibt, muss das Problem in der ersten Hälfte des Programms liegen, ansonsten in der zweiten Hälfte.\n",
"\n",
"Jedes Mal wenn Sie einen solchen Test durchführen, haben Sie die Anzahl an Codezeilen halbiert, die Sie prüfen müssen. Nach sechs Schritten (was deutlich weniger als 100 ist), sind Sie bei ein oder zwei Programmzeilen angekommen, in denen der Fehler stecken sollte - zumindest theoretisch.\n",
"\n",
"In der Praxis ist oft nicht klar, was die \"Mitte des Programms\" ist und es ist nicht immer möglich, dort einen Test hinzuzufügen. Es ist nicht sinnvoll, die Zeilen zu zählen und die exakte Mitte zu finden. Denken Sie stattdessen an Stellen im Programm, die Fehler enthalten könnten und bei denen es einfach ist, eine Überprüfung (Debug-Ausgabe) hinzuzufügen. Suchen Sie dann nach einer Stelle, bei der Sie denken, dass die Chance, dass der Fehler davor oder danach ist ungefähr gleich ist. "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 7.8 Glossar\n",
"\n",
"Legen wir uns eine Liste mit den wichtigsten Begriffen an, die wir im Kapitel 7 gelernt haben:\n",
"\n",
"- Neuzuweisung: \n",
"- Aktualisierung:\n",
"- Initialisierung: Das Erstellen einer Variablen und die damit verbundene erste Zuweisung eines Wertes\n",
"- inkrementieren:\n",
"- dekrementieren:\n",
"- Iteration:\n",
"- Endlosschleife:\n",
"- Algorithmus: \n",
"\n",
"Ergänzen Sie die Liste in eigenen Worten. Das ist eine gute Erinnerungs- und Übungsmöglichkeit."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 7.9 Übung\n",
"\n",
"#### Aufgabe 1\n",
"\n",
"Kopieren Sie die Schleife aus [Abschnitt 7.5](#7.5-Quadratwurzeln) und verkapseln Sie sie in eine Funktion `mysqrt` die einen Parameter `a` erwartet, einen sinnvollen Wert für `x` wählt und eine Näherung für die Quadratwurzel von `a` zurückliefert."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Implementieren Sie hier die Funktion mysqrt\n",
"\n",
"\n",
"# Testen Sie hier die Funktion\n",
"print(\"Die Wurzel von 2 ist ungefähr \", mysqrt(2))\n",
"print(\"Die Wurzel von 23 ist ungefähr \", mysqrt(23))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Testen Sie die Funktion, indem Sie eine Funktion `test_square_root` schreiben, die eine Tabelle der folgenden Art ausgibt:\n",
"```\n",
"a mysqrt(a) math.sqrt(a) diff\n",
"- --------- ------------ ----\n",
"1.0 1.0 1.0 0.0\n",
"2.0 1.41421356237 1.41421356237 2.22044604925e-16\n",
"3.0 1.73205080757 1.73205080757 0.0\n",
"4.0 2.0 2.0 0.0\n",
"5.0 2.2360679775 2.2360679775 0.0\n",
"6.0 2.44948974278 2.44948974278 0.0\n",
"7.0 2.64575131106 2.64575131106 0.0\n",
"8.0 2.82842712475 2.82842712475 4.4408920985e-16\n",
"9.0 3.0 3.0 0.0\n",
"```\n",
"\n",
"Dabei ist die erste Spalte eine Zahl, `a`; die zweite Spalte ist die Quadratwurzel von `a` die mit `mysqrt` berechnet wurde; die dritte Spalte ist die Quadratwurzel, die mittels `math.sqrt` berechnet wurde; und die vierte Spalte ist der Absolutbetrag des Unterschieds zwischen den beiden Werten."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def test_square_root():\n",
" # Implementieren Sie hier die Funktion test_square_root\n",
"# Rufen Sie hier die Funktion test_square_root auf\n",
"test_square_root()"
]
},
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{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"([2038](https://xkcd.com/607/), Randall Munroe)\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"([Spoiler Alert](https://xkcd.com/109/), Randall Munroe)\n",
"\n",
"\n",
"1. Schreiben Sie den Kopf der Funktion, überlegen Sie welche Argumente der Funktion übergeben müssen.\n",
"2. Kopieren Sie, wie oben bereits erwähnt die Funktion. \n",
"3. Wenn Sie das Notebook aufmerksam gelesen haben, werden Sie sich an einige Verbesserungen erinnern, die wir vornehmen müssen. \n",
"4. Vor allem heißt das x und y mit der `abs()`-Funktion zu vergleichen, also zu schreiben `abs(x-y)<epsilon` wobei Sie einen Wert für epsilon wählen müssen, der klein genug ist. Fügen Sie diese Änderungen in Ihren Code ein.\n",
"5. Wählen Sie einen geeigneten Wert für x in Abhängigkeit von a. Da fast jeder Wert funktioniert, können Sie ihn frei wählen, sie müssen lediglich sicherstellen, dass x ungleich null ist.\n",
"6. Vergessen Sie nicht Ihre Funktion mit Werten zu testen, die Sie überprüfen können. \n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def mysqrt(a):\n",
" if a==1:\n",
" x=a\n",
" else:\n",
" x=a-1\n",
" \n",
" epsilon=0.00000000001\n",
" while True:\n",
" y=(x+a/x)/2\n",
" if abs(y-x) < epsilon:\n",
" break\n",
" x=y\n",
" return x\n",
" \n",
" \n",
"mysqrt(25)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Wenn die von Ihnen geschriebene Funktion richtig funktiniert, können Sie an der gewünschten Vergleichstabelle arbeiten. Dazu können Sie folgendermaßen ansetzen:\n",
"\n",
"\n",
"1. Der Kopf der Funktion ist bereits gegeben, aber Sie können bereits den Tabellenkopf schreiben. Dafür schreiben Sie eine `print`-Anweisung für jede Zeile des Tabellenkopfs.\n",
"2. Als nächstes müssen Sie entscheiden ob Sie die Tabelle von oben ausgeben wollen, dann muss a die Werte 1 bis 9 annehmen - Sie brauchen eine Schleife - oder ob Sie die Tabelle für ein beliebiges a berechnen wollen, dann müssen Sie User-Input einrichten.\n",
"3. Wir planen für die Schleife, für diesen Fall können Sie eine `While` oder eine `For` Schleife verwenden. \n",
"4. Prüfen Sie zunächst ob beide Funktionen Werte zurückgeben. Dies ist für die Pythonfunktion der Fall, trifft es auch auf Ihre Funktion zu? Wenn nicht ergänzen Sie die `return`-Anweisung an geeigneter Stelle.\n",
"5. Weißen Sie die beiden Funktionen und damit ihre Rückgabewerte neuen Funktionen zu. \n",
"6. Berechnen Sie die Differenz zwischen `mysqrt()` und `math.sqrt()` und speichern Sie diese in einer neuen Variablen\n",
"7. Für ein nachvollziehbares `a` testen Sie jetzt einmal die 3 Ausgaben. \n",
"8. Fügen Sie die `print` Anweisung hinzu, die die einzelnen Tabellenzeilen ausgibt. \n",
"9. Vergessen Sie nicht den Wert für a bei jedem Schleifendurchlauf zu erhöhen. \n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"import math\n",
"def test_square_root():\n",
" a=1.0\n",
" print('a mysqrt(a) math.sqrt(a) diff')\n",
" print('- --------- ------------ ----')\n",
" while a<10:\n",
" E= mysqrt(a)\n",
" M= math.sqrt(a)\n",
" if E<M:\n",
" diff=M-E\n",
" else:\n",
" diff=E-M\n",
" E=str(E)\n",
" M=str(M)\n",
" print(a,E,(18-len(E))*' ',M,(18-len(M))*' ',diff)\n",
" a=a+1\n",
"\n",
" \n",
"test_square_root()"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### Aufgabe 2\n",
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"Die eingebaute Funktion `eval` erwartet eine Zeichenkette und führt sie dann mit dem Python-Interpreter aus. Beispielsweise:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"eval('1 + 2 * 3')"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"import math\n",
"eval('math.sqrt(5)')"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"eval('type(math.pi)')"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Schreiben Sie eine Funktion `eval_loop`, die den Nutzer iterativ bittet etwas einzugeben, die eingegebene Zeichenkette mittels `eval` ausführt und schließlich das Ergebnis ausgibt. \n",
"\n",
"Die Funktion sollte so lange laufen, bis der Nutzer `fertig` eingibt und dann sollte der Rückgabewert des letzten ausgeführten Ausdrucks ausgegeben werden."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Implementieren Sie hier die Funktion eval_loop"
]
},
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{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"([Spoiler Alert](https://xkcd.com/109/), Randall Munroe)\n",
"\n",
"1. Schreiben Sie den Funktionskopf\n",
"2. Richten Sie die Nutzereingabe ein und weißen Sie diese einer Variablen zu, damit wir den Input weiter verwenden können. \n",
"3. Da der Nutzer mehrfach eine Eingabe machen soll, muss diese Zuweißung innerhalb einer Schleife stattfinden.\n",
"4. Überlegen Sie welche Schleife Sie verwenden müssen, was ist hier Ihre Abbruchbedingung? Ist Sie positiv oder negativ?\n",
"5. Wenn `fertig` eingegeben wird, soll der letzte berechnete Wert zurückgegeben werden, daher muss dieser in einer Variablen temporär gespeichert werden.\n",
"6. Wenn nicht `fertig` eingegeben wird, wird der neue Ausdruck evaluiert und der Wert der zuvor in der temporären Variablen gespeichert war überschrieben. \n",
"7. Vergessen Sie nicht, dass die temporäre Variable initialisiert werden muss, bevor wir sie zum Speichern von Werten verwenden können. \n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def eval_loop():\n",
" Eval=0\n",
" while True:\n",
" line = input('> ')\n",
" if line == 'fertig':\n",
" return(Eval)\n",
" break\n",
" Eval=eval(line)\n",
" print(Eval)\n",
" print('Fertig!')\n",
" \n",
"eval_loop()"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### Aufgabe 3\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"Der Mathematiker [Srinivasa Ramanujan](https://de.wikipedia.org/wiki/S._Ramanujan) hat eine unendliche Folge gefunden die genutzt werden kann, um eine numerische Näherung für 1/$\\pi$ zu berechnen:\n",
"\n",
"\\begin{equation}\n",
"\\frac{1}{\\pi} = \\frac{2\\sqrt{2}}{9801} \\cdot \\sum_{k=0}^{\\infty} \\frac{(4\\cdot k)! \\cdot (1103+26390 \\cdot k)}{(k!)^4 \\cdot 396^{4\\cdot k}}\n",
"\\end{equation}\n",
"\n",
"(Eventuell ist die Formel [in der Original-Aufgabenstellung](http://greenteapress.com/thinkpython2/html/thinkpython2008.html#hevea_default541) besser zu lesen.)\n",
"\n",
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"Schreiben Sie eine Funktion `estimate_pi` die diese Formel nutzt, um einen Näherungswert für $\\pi$ zu berechnen und zurückzugeben. Sie sollten eine `while`-Schleife nutzen, um die Terme der Summe zu solange berechnen, bis der letzte Term kleiner ist als `1e-15` (was die Python-Notation für $10^{-15}$ ist). Sie können Ihr Ergebnis prüfen, indem Sie es mit `math.pi` vergleichen.\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": []
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"([Spoiler Alert](https://xkcd.com/109/), Randall Munroe)\n",
"\n",
"1. Auf den ersten Blick sieht diese Formel sehr überwältigend aus. Machen Sie sich keine Sorgen, wir können die Formel in ihre einzelnen Bestandteile aufsplitten und diese einzeln berechnen.\n",
"2. Wie Sie sehen können wird in der Formel zweimal eine Fakultät berechnet. Dafür können Sie die Funktion, die Sie in Seminar 6 geschrieben verwenden. \n",
"3. Berechnen Sie zuerst die Konstante vor dem Summenzeichen und speichern Sie den Wert in einer Variablen. In unserer Lösung wird diesè Variable `faktor` genannt. \n",
"4. Die `while`-Schleife ersetzt das Summenzeichen. Überlegen Sie sich wie Sie die Bedingung formulieren müssen. Die Abbruchbedingung ist `abs(term)<1e-15` \n",
"5. Das Summenzeichen berechnet Werte für k=0 aufwärts (unedlich anstrebend), also muss die Schleife k hochzählen. \n",
"6. Alles was hinter dem Summenzeichen steht wird in der Schleife berechnet.\n",
"7. In jedem Durchgang der Schleife werden Zähler (hier `num`) und Nenner (hier `den`) einzeln berechnet und je einer Variablen zugewiesen\n",
"8. Anschließend wird der Wert des Terms im aktuellen Schleifendurchlauf berechnet, indem die Konstante vor dem Summenzeichen mit dem Bruch hinter dem Summenzeichen multipliziert wird. \n",
"9. Dieser Wert wird in jedem Schleifendurchlauf auf das Gesamtergebnis addiert\n",
"10. Danach wird geprüft ob die Abbruchbedingung erfüllt ist. \n",
"11. Da diese Formel 1/$\\pi$ berechnet, muss 1/ergebnis gerechnet werden um $\\pi$ zu erhalten. \n",
"\n"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"import math\n",
"\n",
"def fakultaet(n):\n",
" if not isinstance(n, int):\n",
" print('Die Fakultät ist nur für ganze Zahlen definiert.')\n",
" return None\n",
" elif n < 0:\n",
" print('Die Fakultät für negative ganze Zahlen ist nicht definiert.')\n",
" return None\n",
" elif n == 0:\n",
" return 1\n",
" else:\n",
" return n * fakultaet(n-1)\n",
"\n",
"def estimate_pi():\n",
" faktor = 2 * math.sqrt(2) / 9801 \n",
" ergebnis = 0\n",
" k = 0\n",
" while True:\n",
" num = fakultaet(4*k) * (1103 + 26390*k)\n",
" den = fakultaet(k)**4 * 396**(4*k)\n",
" term = faktor * num / den\n",
" ergebnis= ergebnis + term\n",
" if abs(term) < 1e-15:\n",
" break\n",
" k =k + 1\n",
" \n",
" fast_pi= 1/ ergebnis\n",
" return fast_pi\n",
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
" Speichern Sie dieses Notebook, so dass Ihre Änderungen nicht verlorengehen (nicht auf einem Pool-Rechner). Klicken Sie dazu oben links auf das Disketten-Icon und nutzen Sie beispielsweise einen USB-Stick, E-Mail, Google Drive, Dropbox oder Ihre [HU-Box](https://box.hu-berlin.de/). "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"Herzlichen Glückwunsch! Sie haben das 7. Kapitel geschafft. Weiter geht es in [8: Zeichenketten](seminar08.ipynb)."