Newer
Older
{
"cells": [
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"# Seminar Problemorientierte Programmierung\n",
"\n",
"## 6 Ertragreiche Funktionen\n",
"[Chapter 6: Fruitful function](http://greenteapress.com/thinkpython2/html/thinkpython2007.html)\n",
"\n",
"\n",
"Viele Python-Funktionen die wir bis jetzt genutzt haben, wie z.B. die Mathematik-Funktionen aus dem `math`-Modul, erzeugen Rückgabewerte (*return values*). Aber die meisten Funktionen die wir selber geschrieben haben sind \"leer\": sie bewirken etwas, beispielsweise die Ausgabe eines Wertes (mit Hilfe der `print`-Funktion) oder die Bewegung einer Schildkröte, aber sie haben keinen Rückgabewert. In diesem Kapitel werden wir lernen, wie wir \"ertragreiche Funktionen\", also solche mit Rückgabewert, schreiben können.\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"([Random Number](https://xkcd.com/221/), Randall Munroe)\n",
"\n",
"### Ihre Lernziele:\n",
"Beschreiben Sie in 2-3 Stichpunkten kurz was Sie im Seminar heute lernen wollen. Klicken Sie dazu doppelt auf diesen Text und bearbeiten Sie dann den Text:\n",
"\n",
" - \n",
" - \n",
" - "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"## Exkurs: Was mir an Python gefällt\n",
"\n",
"Dieser Code enthält das Grundgerüst, um eine auf TCP basierende Serveranwendung zu programmieren."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Quellen: https://docs.python.org/3/howto/sockets.html und \n",
"# http://www.binarytides.com/python-socket-server-code-example/\n",
"\n",
"import socket\n",
"\n",
"# function for handling connections. This will be used to create threads\n",
"def client_thread(conn):\n",
" # sending message to connected client\n",
" conn.send(bytearray('Welcome to the server. Type something and hit enter\\n', \"utf-8\")) #send only takes string\n",
" \n",
" # infinite loop so that function do not terminate and thread do not end.\n",
" while True:\n",
" \n",
" # receiving from client\n",
" data = conn.recv(1024)\n",
" if not data: \n",
" break\n",
" # print on server side\n",
" print(data.decode(\"utf-8\"))\n",
" # echo to client side\n",
" reply = bytearray('OK ... ', \"utf-8\") + data\n",
" conn.sendall(reply)\n",
" # came out of loop\n",
" conn.close()\n",
" \n",
"# create an INET, STREAMing socket\n",
"serversocket = socket.socket(socket.AF_INET, socket.SOCK_STREAM)\n",
"# bind the socket to a public host, and a port\n",
"# serversocket.bind((socket.gethostname(), 8080))\n",
"# use localhost instead \n",
"serversocket.bind((\"localhost\", 8080))\n",
"# become a server socket\n",
"serversocket.listen(5)\n",
"while True:\n",
" # accept connections from outside\n",
" (clientsocket, address) = serversocket.accept()\n",
" # now do something with the clientsocket\n",
" # in this case, we'll pretend this is a threaded server\n",
" ct = client_thread(clientsocket)\n",
" ct.run()\n",
"\n",
"serversocket.close()"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Wenn Sie den Code starten und sich dann mit Hilfe von Telnet mit der Anwendung verbinden (telnet localhost 8080), werden alle Eingaben an Sie zurückgespiegelt (\"echo\") und hier in Jupyter ausgegeben. Das ist eine sehr einfache Testanwendung, die aus Sicherheitsgründen nur von Ihrem Rechner aus erreichbar ist.\n",
"Falls Ihr Rechner keinen Paketfilter (\"Firewall\") laufen hat und Sie die Zeile mit localhost auskommentieren und stattdessen die mit socket.gethostbyname() aktivieren, dann ist die Anwendung ggf. auch von anderen Rechnern erreichbar und stellt ziemlich sicher eine Sicherheitslücke dar. Gehen Sie also vorsichtig mit dieser Option um."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 6.1 Rückgabewerte\n",
"\n",
"Der Aufruf einer Funktion erzeugt einen Rückgabewert, den wir üblicherweise einer Variable zuweisen oder als Teil eines Ausdrucks verwenden:\n",
"\n",
"```python\n",
"height = radius * math.sin(radians)\n",
"```\n",
"\n",
"Die (meisten) Funktionen, die wir bisher geschrieben haben sind \"leer\" - sie haben keinen Rückgabewert. Präziser ausgedrückt ist ihr Rückgabewert `None` (also nichts).\n",
"\n",
"In diesem Kapitel schreiben wir (endlich) ertragreiche Funktionen. Das erste Beispiel ist die Funktion `kreisflaeche`, die die Fläche eines Kreises für einen gegebenen Radius berechnet:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
" a = math.pi * radius**2\n",
" return a"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Wir haben die `return`-Anweisung vorher schon einmal gesehen, aber in ertragreichen Funktionen folgt hinter der `return`-Anweisung ein Ausdruck (im Beispiel oben `a`). Die Anweisung bedeutet: \"Beende sofort diese Funktion und verwende den folgenden Ausdruck als Rückgabewert.\" Der Ausdruck kann beliebig kompliziert sein, wir könnten diese Funktion also auch kürzer schreiben: "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
" return math.pi * radius**2"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Auf der anderen Seite können uns **temporäre Variablen** wie `a` beim Debugging helfen.\n",
"\n",
"Manchmal ist es nützlich, mehrere `return`-Anweisungen zu haben - eine in jedem Zweig einer Verzweigung:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def betrag(x):\n",
" if x < 0:\n",
" return -x\n",
" else:\n",
" return x"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Da solche `return`-Anweisungen in alternativen (sich gegenseitig ausschließenden) Zweigen liegen, wird nur eine davon ausgeführt.\n",
"\n",
"Sobald eine `return`-Anweisung ausgeführt wird, wird die Funktion beendet, ohne die folgenden Anweisungen auszuführen. Code, der nach einer `return`-Anweisung folgt oder an einer anderen Stelle, die während der Ausführung niemals erreicht werden kann, wird **toter Code** (*dead code*) genannt.\n",
"\n",
"\n",
"In einer eintragreichen Funktion sollten wir sicherstellen, dass jeder mögliche Pfad durch den Code eine `return`-Anweisung erreicht. Zum Beispiel:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def betrag(x):\n",
" if x < 0:\n",
" return -x\n",
" if x > 0:\n",
" return x"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Diese Funktion ist falsch, beziehungsweise unvollständig, denn wenn `x` gleich 0 ist, ist keine der beiden Bedingungen erfüllt und die Funktion wird beendet, ohne dass eine `return`-Anweisung erreicht wird. Wenn die Ausführung das Ende einer Funktion statt einer `return`-Anweisung erreicht, ist der Rückgabewert `None`, was nicht der Betrag von 0 ist:"
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"print(betrag(0))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Übrigens, Python bietet eine eingebaute Funktion `abs` die den Betrag einer Zahl berechnet:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"print(abs(-42))\n",
"print(abs(0))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Schreiben Sie eine Funktion `compare`, die zwei Parameter `x` und `y` erwartet und `1` für `x > y`, `0` für `x == y` und `-1` für `x < y` zurückliefert:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# Implementieren Sie hier die Funktion compare"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 6.2 Schrittweise Entwicklung\n",
"\n",
"Wenn Sie größere Funktionen schreiben, kann es sein, dass Sie mehr Zeit mit der Fehlersuche (Debugging) verbringen.\n",
"Um mit zunehmend komplexeren Programmen klarzukommen, können Sie eine Methode verwenden, die sich **schrittweise Entwicklung** (*incremental development*) nennt. Das Ziel bei der schrittweisen Entwicklung ist die Vermeidung langer Fehlersuch-Sitzungen, indem immer nur kleine Codestücke hinzugefügt und getestet werden.\n",
"\n",
"Nehmen wir z.B. an, dass wir die Entfernung zwischen zwei Punkten berechnen wollen, die durch die Koordinaten $(x_1, y_1)$ und $(x_2, x_2)$ gegeben sind. Nach dem [Satz des Pythagoras](https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_des_Pythagoras) ist die Entfernung: \n",
"\n",
"$entfernung = \\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$\n",
"\n",
"Im ersten Schritt sollten wir uns überlegen, wie die Funktion `entfernung` in Python aussehen sollte. In anderen Worten: Was sind die Eingaben (Parameter) und was ist das Ergebnis (Rückgabewert)?\n",
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
"\n",
"In diesem Fall sind die Eingaben zwei Punkte, die wir durch vier Zahlen repräsentieren können. Das Ergebnis ist die Entfernung, repräsentiert als Gleitkommazahl.\n",
"\n",
"Mit dieser Information können wir sofort eine Skizze der Funktion schreiben:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def entfernung(x1, y1, x2, y2):\n",
" return 0.0"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Ganz offensichtlich berechnet diese Variante nicht die Entfernung, sie liefert stets Null zurück. Aber sie ist syntaktisch korrekt und sie läuft, das heißt, wir können die Funktion testen, bevor wir sie verkomplizieren.\n",
"\n",
"Rufen Sie die Funktion mit Beispielargumenten auf, um sie zu testen: "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"entfernung(1, 2, 4, 6)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Diese Werte sind so gewählt, dass die horizontale Distanz drei ist und die vertikale Distanz 4 - dadurch ist das Ergebnis 5 - die Hypothenuse eines Dreiecks mit den Seitenlängen 3-4-5. Wenn wir die Funktion testen ist es hilfreich, das richtige Ergebnis zu kennen.\n",
"\n",
" \n",
"\n",
"([Petrus3743](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:01-Rechtwinkliges_Dreieck-Pythagoras.svg), Wikimedia Commons)\n",
"\n",
"An dieser Stelle haben wir uns davon überzeugt, dass die Funktion syntaktisch korrekt ist. Wir können also damit beginnen, Code zum Rumpf hinzuzufügen. Ein naheliegender nächster Schritt ist, die Differenzen $x_2-x_1$ und $y_2-y_1$ zu berechnen. Die nächste Version speichert die Werte in temporären Variablen und gibt sie aus: "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def entfernung(x1, y1, x2, y2):\n",
" dx = x2 - x1\n",
" dy = y2 - y1\n",
" print('dx ist', dx)\n",
" print('dy ist', dy)\n",
" return 0.0\n",
"\n",
"entfernung(1, 2, 4, 6)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Wenn die Funktion richtig funktioniert, sollte `dx ist 3` und `dx ist 4` ausgegeben werden. Wenn dem so ist, wissen wir, dass die Funktion die Argumente richtig erhalten hat und die ersten Berechnungen korrekt durchgeführt wurden. Falls nicht, gibt es nur wenige Zeilen Code, die wir überprüfen müssen.\n",
"\n",
"Als nächstes berechnen wir die Summe der Quadrate von `dx` und `dy`:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def entfernung(x1, y1, x2, y2):\n",
" dx = x2 - x1\n",
" dy = y2 - y1\n",
" dquadrat = dx**2 + dy**2\n",
" print('dquadrat ist: ', dquadrat)\n",
" return 0.0\n",
"\n",
"entfernung(1, 2, 4, 6)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Wieder rufen wir die Funktion mit bekannten Werten auf und prüfen das Ergebnis (das 25 sein sollte). Abschließend können wir die Funktion `math.sqrt` nutzen um das Ergebnis zu berechnen und zurückzugeben:"
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"import math\n",
"def entfernung(x1, y1, x2, y2):\n",
" dx = x2 - x1\n",
" dy = y2 - y1\n",
" dquadrat = dx**2 + dy**2\n",
" ergebnis = math.sqrt(dquadrat)\n",
" return ergebnis\n",
"\n",
"entfernung(1, 2, 4, 6)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Falls das richtig funktioniert, sind wir fertig. Ansonsten könnten wir beispielsweise den Wert von `ergebnis` vor der `return`-Anweisung mit `print` ausgeben.\n",
"\n",
"Die endgültige Version der Funktion zeigt nichts an (gibt nichts auf dem Bildschirm aus), wenn sie ausgeführt wird; sie gibt nur einen Wert zurück. Die `print`-Anweisungen die wir zwischendurch geschrieben haben sind hilfreich für die Fehlersuche, aber sobald die Funktion funktioniert, sollten wir sie entfernen. Solcher Code wird **Hilfscode** (*scaffolding*) genannt, denn er hilft beim Schreiben des Programms aber ist nicht Teil des endgültigen Produkts.\n",
"\n",
"Wenn Sie mit Programmieren beginnen, sollten sie jeweils nur ein bis zwei Zeilen auf einmal hinzufügen. Sobald Sie mehr Erfahrung gesammelt haben, werden Sie merken, dass Sie größere Stücke Code auf einmal schreiben und testen können. In jedem Fall kann Ihnen schrittweise Entwicklung viel Zeit bei der Fehlersuche ersparen.\n",
"\n",
"Die wichtigsten Punkte dieses Vorgehens sind:\n",
"1. Beginnen Sie mit einem kleinen funktionierenden Programm und führen Sie nur inkrementelle (schrittweise) Änderungen durch. Falls ein Fehler auftritt, sollten Sie zu jeden Zeitpunkt eine Ahnung haben, in welcher Zeile der Fehler sich befindet.\n",
"2. Nutzen Sie Variablen, um Zwischenwerte zu speichern, so dass Sie diese mit `print` ausgeben und überprüfen können.\n",
"3. Sobald das Programm funktioniert, sollten Sie Teile des Hilfscodes entfernen und gegebenenfalls mehrere Anweisungen zu einer Verbundanweisung zusammenfügen, aber nur, wenn sich dadurch die Lesbarkeit des Programms nicht verschlechtert.\n",
"\n",
"**Übung:** Nutzen Sie das Prinzip der schrittweisen Entwicklung, um eine Funktion `hypothenuse` zu schreiben, die die Länge der Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zurückgibt, wenn die Längen der beiden Katheden gegeben sind. Dokumentieren Sie jeden Entwicklungsschritt hier im Notebook (d.h., erzeugen Sie eine Kopie der Funktion, bevor Sie den nächsten Entwicklungsschritt durchführen)."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"# beginnen Sie hier mit der Entwicklung der Funktion"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"\n",
"\n",
"([Nina Owens](http://geometry157.blogspot.de/2013/06/types-of-triangles-there-are-several.html))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
"source": [
"### 6.3 Komposition\n",
"\n",
"Wie Sie mittlerweile wissen sollten, können wir eine Funktion innerhalb einer anderen aufrufen. Als Beispiel werden wir eine Funktion schreiben, die zwei Punkte erwartet - den Mittelpunkt eines Kreises und einen Punkt auf dem Kreisumfang - und uns daraus die Fläche des Kreises berechnet.\n",
"\n",
"Angenommen, die Koordinaten des Mittelpunktes sind in den Variablen `xc` und `yc` gespeichert und die des Punktes auf dem Kreisumfang in `xp` und `yp`. Der erste Schritt ist, den Radius des Kreises zu berechnen, der sich aus der Entfernung der beiden Punkte ergibt. Wir haben gerade eine Funktion `entfernung` geschrieben, die das erledigt: "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"radius = entfernung(xc, yc, xp, yp)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Der nächste Schritt ist, die Fläche eines Kreises mit diesem Radius zu berechnen. Das haben wir auch schon implementiert:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"ergebnis = kreisflaeche(radius)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Wenn wir diese Schritte in einer Funktion verkapseln, erhalten wir:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def kreisflaeche_2(xc, yc, xp, yp):\n",
" radius = entfernung(xc, yc, xp, yp)\n",
" ergebnis = kreisflaeche(radius)\n",
" return ergebnis"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Die Hilfsvariablen `radius` und `ergebnis` sind hilfreich für Entwicklung und Debugging, aber sobald das Programm funktioniert können wir es kompakter aufschreiben durch die **Komposition** von Funktionsaufrufen:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def kreisflaeche_2(xc, yc, xp, yp):\n",
" return kreisflaeche(entfernung(xc, yc, xp, yp))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
""
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 6.4 Boolesche Funktionen\n",
"\n",
"Funktionen können Boolesche Werte zurückliefern. Das ist praktkisch, um komplizierte Tests in einer Funktion zu verstecken. Zum Beispiel: "
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def ist_teilbar(x, y):\n",
" if x % y == 0:\n",
" return True\n",
" else:\n",
" return False"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Es ist üblich, Booleschen Funktionen Namen zu geben, die wie Ja-/Nein-Fragen klingen; `ist_teilbar` gibt entweder `True` oder `False` zurück und zeigt damit an, ob `x` durch `y` teilbar ist.\n",
"\n",
"Hier ist ein Beispiel:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"ist_teilbar(6, 4)"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"ist_teilbar(6, 3)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Das Ergebnis des `==`-Operators ist ein Boolescher Wert, daher können wir die Funktion kompakter aufschreiben, indem wir den Wert direkt zurückgeben:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def ist_teilbar(x, y):\n",
" return x % y == 0"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Boolesche Funktionen werden oft in Verzweigungen genutzt:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"if ist_teilbar(x, 2):\n",
" print('x ist eine gerade Zahl')"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Es mag verlockend erscheinen, stattdessen folgendes zu schreiben:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"if ist_teilbar(x, 2) == True:\n",
" print('x ist eine gerade Zahl')"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Aber dieser zusätzliche Vergleich ist unnötig.\n",
"\n",
"Schreiben Sie als Übung eine Funktion `ist_zwischen(x, y, z)`, die `True` zurückgibt, wenn $x \\le y \\le z$ gilt und ansonsten `False`."
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 6.5 Noch mehr Rekursion\n",
"\n",
"Wir haben bisher nur eine kleine Teilmenge von Python kennengelernt aber vielleicht interessiert es Sie zu wissen, dass diese Teilmenge eine *komplette* Programmiersprache darstellt. Das heißt, alles was berechnet werden kann, können wir mit den bisher erlernten Anweisungen und Funktionen ausdrücken! Jedes jemals geschriebene Programm könnten wir umschreiben, so dass es nur mit den Sprachmerkmalen auskommt, die wir bis jetzt gelernt haben (gut, wir bräuchten noch ein paar Anweisungen, um Geräte wie z.B. die Maus, Festplatten, etc. zu kontrollieren).\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"Diese Behauptung zu beweisen, ist eine nicht so ganz einfache Aufgabe, die zuerst von [Alan Turing](https://de.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing) gelöst wurde. Er war einer der ersten Informatiker (einige würden argumentieren, dass er ein Mathematiker war, aber viele der ersten Informatiker begannen als Mathematiker). Dementsprechend wird dies oft als [Turing-These](https://de.wikipedia.org/wiki/Church-Turing-These) bezeichnet. \n",
"Um einen Idee davon zu bekommen, was wir mit den Werkzeugen, die wir bisher kennengelernt haben, schon erreichen können, wollen wir einige rekursiv definierte mathematische Funktionen implementieren. Eine rekursive Definition ist ähnlich einer [zirkulären Definition](https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_definition) (*circular definition* - leider konnte ich dafür keinen deutschen Begriff finden) in dem Sinne, dass die Definition eine Referenz auf das, was definiert wird, enthält. Eine richtig zirkuläre Definition ist nicht sehr nützlich:\n",
"**vorpal:** Ein Adjektiv welches genutzt wird, um etwas zu beschreiben, was vorpal ist.\n",
"Wenn Sie so eine Definition in einem Wörterbuch sehen, sind Sie vermutlich verärgert. Andererseits, wenn wir uns die Definition der Fakultätsfunktion heraussuchen (die mit dem Symbol ! bezeichnet wird), finden wir vermutlich etwas in der Art:\n",
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
"\n",
"\\begin{align}\n",
"0! &= 1\\\\\n",
"n! &= n(n-1)!\n",
"\\end{align}\n",
"\n",
"Diese Definition sagt aus, dass die Fakultät von 0 gleich 1 ist und die Fakultät jedes anderen Wertes $n$ entspricht $n$ multipliziert mit der Fakultät von $n-1$.\n",
"\n",
"Also ist 3! gleich 3 mal 2!, was 2 mal 1! ist, was 1 mal 0! ist. Zusammengenommen ist 3! also gleich 3 mal 2 mal 1 mal 1 - also 6.\n",
"\n",
"Wenn wir etwas rekursiv definieren können, dann können wir auch eine Python-Funktion schreiben, um das ganze auszuwerten. Der erste Schritt ist, zu entscheiden, was die Parameter sein sollen. In diesem Beispiel sollte es klar sein, dass `fakultaet` eine ganze Zahl erwartet: \n",
"\n",
"```python\n",
"def fakultaet(n):\n",
"```"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Wenn das Argument 0 übergeben wird, müssen wir einfach nur 1 zurückgeben:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def fakultaet(n):\n",
" if n == 0:\n",
" return 1"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Ansonsten, und das ist der spannende Teil, müssen wir einen rekursiven Aufruf machen, um die Fakultät von $n-1$ zu berechnen und dann mit $n$ zu multiplizieren:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def fakultaet(n):\n",
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
" return 1\n",
" else:\n",
" rekursion = fakultaet(n-1)\n",
" ergebnis = n * rekursion\n",
" return ergebnis\n",
"\n",
"fakultaet(3)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Der Kontrollfluss dieses Programms ist ähnlich dem von `countdown` in [Abschnitt 5.8](seminar05.ipynb#5.8-Rekursion). Wenn wir `fakultaet` mit dem Wert 3 aufrufen, passiert folgendes:\n",
"\n",
"Da 3 ungleich 0 ist, führen wir den zweiten Zweig aus und berechnen die Fakultät von $n-1$ ...\n",
"- Da 2 ungleich 0 ist, führen wir den zweiten Zweig aus und berechnen die Fakultät von $n-1$ ...\n",
" - Da 1 ungleich 0 ist, führen wir den zweiten Zweig aus und berechnen die Fakultät von $n-1$ ...\n",
" - Da 0 gleich 0 ist, führen wir den ersten Zweig aus und geben 1 zurück, ohne weitere rekursive Aufrufe zu tätigen.\n",
" \n",
" Der Rückgabewert, 1, wird mit n multipliziert, was 1 ist, und das Ergebnis zurückgegeben.\n",
" \n",
" Der Rückgabewert, 1, wird mit n multipliziert, was 2 ist, und das Ergebnis zurückgegeben.\n",
" \n",
"Der Rückgabewert, 2, wird mit n multipliziert, was 3 ist, und das Ergebnis 6 wird zum Rückgabewert des Funktionsaufrufs, der den ganzen Vorgang gestartet hat.\n",
"\n",
"Die folgende Abbildung zeigt wie das Stapeldiagramm für diese Folge von Funktionsaufrufen aussieht:\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"Das Diagramm zeigt, wie die Rückgabewerte im Stapel weiter nach oben durchgereicht werden. In jedem Block ist der Rückgabewert der Wert von `ergebnis`, was das Produkt von `n` und `rekursion` ist.\n",
"\n",
"Im untersten (letzten) Block existieren die lokalen Variablen `rekursion` und `ergebnis` nicht, denn derjenige Zweig, welcher diese erzeugt, wird nicht ausgeführt.\n",
"\n",
"Nutzen Sie auch http://pythontutor.com/, um die einzelnen Schritte nachzuvollziehen!"
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 6.6 Vertrauensvorschuss\n",
"\n",
"Dem Kontrollfluss zu folgen ist eine Möglichkeit, Programme zu lesen, aber das kann ganz schön aufwendig sein. Eine Alternative ist, dem Code einen \"Vertrauensvorschuss\" zu geben. Wenn wir einen Funktionsaufruf sehen, können wir, statt dem Kontrollfluss zu folgen, einfach *annehmen*, dass die Funktion richtig arbeitet und das korrekte Ergebnis zurückliefert.\n",
"\n",
"Tatsächlich praktizieren wir das bisher schon mit den eingebauten Funktionen. Wenn wir `math.cos` oder `print` aufrufen, schauen wir uns den Rumpf dieser Funktionen nicht an. Wir gehen einfach davon aus, dass sie funktionieren, weil die Leute, die sie geschrieben haben, gute Programmierer/innen sind. (Zumindest nehmen wir das vielleicht an ;-) )\n",
"Das gleiche gilt, wenn wir eine unserer eigenen Funktionen aufrufen. Beispielsweise haben wir in [Abschnitt 6.4](#6.4-Boolesche-Funktionen) eine Funktion `ist_teilbar` geschrieben, die bestimmt, ob eine Zahl durch eine andere teilbar ist. Sobald wir uns davon überzeugt haben, dass diese Funktion korrekt arbeitet - durch Verstehen des Codes und Testen - können wir die Funktion nutzen, ohne uns den Rumpf noch einmal anzuschauen.\n",
"Das gleiche gilt für rekursive Programme. Wenn wir auf einen rekursiven Funktionsaufruf treffen, können wir, anstatt dem Kontrollfluss zu folgen, annehmen, dass der rekursive Aufruf funktioniert (also den richtigen Wert zurückliefert) und uns selbst beispielsweise fragen \"Angenommen, ich kann die Fakultät von $n-1$ berechnen, kann ich dann die Fakultät von $n$ berechnen?\" Das funktioniert offensichtlich - indem wir mit $n$ multiplizieren.\n",
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
"\n",
"Natürlich ist es etwas seltsam, anzunehmen, dass die Funktion richtig arbeitet, wenn wir sie noch nicht fertig implementiert haben, aber daher wird das ganze ja auch Vertrauensvorschuss genannt. "
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 6.7 Ein weiteres Beispiel\n",
"\n",
"Neben der Fakultät ist ein weiteres übliches Beispiel für eine rekursiv definierte mathematische Funktion die [Fibonacci-Folge](https://de.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-Folge):\n",
"\n",
"\\begin{align}\n",
"fibonacci(0) &= 0\\\\\n",
"fibonacci(1) &= 1\\\\\n",
"fibonacci(n) &= fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)\\\\\n",
"\\end{align}\n",
"\n",
"Übersetzt nach Python schaut das so aus:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def fibonacci(n):\n",
" if n == 0:\n",
" return 0\n",
" elif n == 1:\n",
" return 1\n",
" else:\n",
" return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)\n",
"\n",
"fibonacci(7)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Wenn Sie hier versuchen, dem Kontrollfluss zu folgen, wird - selbst für kleine Werte von $n$ - ihr Kopf explodieren. Aber mit Vertrauensvorschuss - wenn wir annehmen dass die zwei rekursiven Aufrufe korrekt funktionieren - wird klar, dass wir das richtige Ergebnis durch Addition der Werte erhalten.\n",
"\n",
"**Übung:** Probierem Sie aus, bis zu welchem Wert von $n$ Sie die Funktion noch aufrufen können, ohne zu lange warten zu müssen. Wenn Sie wollen, können Sie auch `print`-Ausgaben zur Funktion hinzufügen, um den Ablauf nachzuverfolgen (`print(' '*n, n)` erzeugt beispielsweise eine übersichtliche Ausgabe). Rufen Sie die Funktion dann aber besser mit sehr kleinen Werten für `n` auf.\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"([Borb](https://commons.wikimedia.org/wiki/File:FibonacciBlocks.svg))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 6.8 Typen prüfen\n",
"\n",
"Was passiert, wenn wir `fakultaet` mit dem Wert `1.5` als Argument aufrufen?"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"fakultaet(1.5)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Das sieht nach einer unendlichen Rekursion aus. Aber wie kann das sein? Die Funktion hat doch einen Basisfall - wenn `n == 0` ist. \n",
"\n",
"\n",
"\n",
"Nun, wenn `n` keine ganze Zahl ist, können wir den Basisfall *verpassen* und eine unendliche Rekursion wird durchgeführt.\n",
"\n",
"Im ersten rekursiven Aufruf ist der Wert von `n` gleich 0.5. Im nächsten ist der Wert `-0.5`. Ab da wird der Wert immer kleiner (immer negativer) aber er wird nie gleich `0` sein. \n",
"\n",
"Wir haben zwei Optionen, dieses Problem zu beheben:\n",
"\n",
"1. Wir können versuchen, die Funktion `fakultaet` zu verallgemeinern, so dass sie auch mit Gleitkommazahlen arbeitet.\n",
"2. Wir können `fakultaet` anpassen, so dass der Typ des übergebenen Arguments geprüft wird.\n",
"\n",
"Die erste Option nennt sich [Gamma-Funktion](https://de.wikipedia.org/wiki/Gammafunktion) und sprengt den Rahmen dieses Kurses. Also schauen wir uns die zweite Option an.\n",
"\n",
"Mit Hilfe der eingebauten Funktion `isinstance` können wir den Typ des Arguments prüfen. Und wenn wir schon einmal dabei sind, können wir auch gleich sicherstellen, dass das Argument positiv ist: "
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def fakultaet(n):\n",
" if not isinstance(n, int):\n",
" print('Die Fakultät ist nur für ganze Zahlen definiert.')\n",
" return None\n",
" elif n < 0:\n",
" print('Die Fakultät für negative ganze Zahlen ist nicht definiert.')\n",
" return None\n",
" elif n == 0:\n",
" return 1\n",
" else:\n",
" return n * fakultaet(n-1)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Der erste Basisfall behandelt Zahlen die keine ganzen Zahlen sind; der zweite behandelt negative ganze Zahlen. In beiden Fällen gibt die Funktion eine Fehlermeldung aus und gibt `None` zurück, um anzuzeigen, dass etwas schiefgelaufen ist:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"print(fakultaet(\"fred\"))"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"print(fakultaet(-2))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Wenn wir beide Überprüfungen \"bestehen\", dann wissen wir, dass `n` eine positive ganze Zahl oder Null ist. Damit können wir zeigen, dass die Rekursion terminiert.\n",
"Dieses Programm demonstriert ein Entwurfsmuster, welches manchmal **Wächter** (*guardian*) genannt wird. Die ersten beiden Verzweigungen agieren als Wächter, die den darauffolgenden Code vor Werten beschützen, die Fehler hervorrufen könnten. Die Wächter ermöglichen uns, die Korrektheit des Codes zu beweisen.\n",
"\n",
"Im [Abschnitt 11.4](seminar11.ipynb#reverse-lookup) werden wir eine flexiblere Alternative kennenlernen, um eine Fehlermeldung auszugeben: Ausnahmebehandlung."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 6.9 Debugging\n",
"\n",
"Ein großes Programm in kleinere Funktionen zu zerlegen erzeugt ganz natürliche Kontrollpunkte. Wenn eine Funktion nicht funktioniert, gibt es drei Möglichkeiten, die wir in Betracht ziehen sollten:\n",
"\n",
"1. Es stimmt etwas nicht mit den Argumenten der Funktion; eine Vorbedingung ist verletzt.\n",
"2. Es stimmt etwas nicht mit der Funktion; eine Nachbedingung ist verletzt.\n",
"3. Es stimmt etwas nicht mit dem Rückgabewert der Funktion oder der Art und Weise, wie dieser verwendet wird.\n",
"\n",
"Um die erste Möglichkeit auszuschließen, können wir `print`-Anweisungen am Anfang der Funktion einfügen und die Werte der Parameter (und vielleicht deren Typ) ausgeben. Oder wir können Code einfügen, der die Vorbedingungen explizit prüft (wie wir es bei `fakultaet` gerade eben gemacht haben).\n",
"\n",
"Wenn die Parameter gut aussehen, dann können wir eine `print`-Anweisung vor jeder `return`-Anweisung einfügen und den Rückgabewert anzeigen. Falls möglich, prüfen wir den Wert von Hand. Wir können auch in Betracht ziehen, die Funktion mit Werten aufzurufen, die uns das überprüfen des Ergebnisses erleichtern (wie in [Abschnitt 6.2](#6.2-Schrittweise-Entwicklung)). \n",
"\n",
"Wenn die Funktion richtig arbeitet (oder es zumindest danach aussieht), sollten wir uns die Stelle anschauen, an der die Funktion aufgerufen wird und sicherstellen, dass der Rückgabewert richtig bzw. überhaupt verwendet wird.\n",
"\n",
"Das Hinzufügen von `print`-Anweisungen am Anfang und Ende einer Funktion kann uns helfen, den Kontrollfluss besser sichtbar zu machen. Hier ist beispielsweise eine Version von `fakultaet` mit `print`-Anweisungen:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def fakultaet(n):\n",
" space = ' ' * (4 * n)\n",
" print(space, 'fakultaet', n)\n",
" if n == 0:\n",
" print(space, 'returning 1')\n",
" return 1\n",
" else:\n",
" rekursion = fakultaet(n-1)\n",
" ergebnis = n * rekursion\n",
" print(space, 'returning', ergebnis)\n",
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Dabei ist `space` eine Zeichenkette voller Leerzeichen, die die Einrückung der Ausgabe kontrolliert. Probieren Sie es aus:"
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"fakultaet(4)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"Wenn Sie der Kontrollfluss verwirrt, dann kann diese Art der Ausgabe hilfreich sein. Es braucht etwas Zeit, guten Hilfscode zu entwickeln, aber etwas Hilfscode kann uns viel Zeit beim Debuggen ersparen.\n",
"\n",
"\n",
"\n",
"([Debugging](https://xkcd.com/1722/), Randall Munroe)"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 6.10 Glossar\n",
"\n",
"Legen wir uns eine Liste mit den wichtigsten Begriffen an, die wir im Kapitel 6 gelernt haben:\n",
"\n",
"- temporäre Variable:\n",
"- toter Code:\n",
"- schrittweise Entwicklung\n",
"- Hilfscode:\n",
"- Wächter: Auch *guardian* genannt, beschützt der \"Wächter\" darauf folgenden Code vor Eingaben, die zu Fehlern führen können.\n",
"\n",
"Ergänzen Sie die Liste in eigenen Worten. Das ist eine gute Erinnerungs- und Übungsmöglichkeit."
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"### 6.11 Übung\n",
"\n",
"#### Aufgabe 1\n",
"\n",
"Zeichnen Sie (mit Bleistift und Papier) ein Stapeldiagramm für das folgende Programm wenn bei der Ausführung die Zeile `x = x + 1` in der Funktion `a` erreicht wurde. Was gibt das Programm aus?\n"
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
]
},
{
"cell_type": "code",
"execution_count": null,
"metadata": {},
"outputs": [],
"source": [
"def b(z):\n",
" prod = a(z, z)\n",
" print(z, prod)\n",
" return prod\n",
"\n",
"def a(x, y):\n",
" x = x + 1\n",
" return x * y\n",
"\n",
"def c(x, y, z):\n",
" total = x + y + z\n",
" square = b(total)**2\n",
" return square\n",
"\n",
"x = 1\n",
"y = x + 1\n",
"print(c(x, y+3, x+y))"
]
},
{
"cell_type": "markdown",
"metadata": {},
"source": [
"#### Aufgabe 2\n",
"\n",
"Die [Ackermannfunktion](https://de.wikipedia.org/wiki/Ackermannfunktion), $A(m, n)$ ist folgendermaßen definiert:\n",
"\n",
"\\begin{equation}\n",
"A(m,n) = \n",
"\\begin{cases}\n",
"n+1 & \\ \\ \\text{falls}\\ m=0\\\\\n",
"A(m-1, 1) & \\ \\ \\text{falls}\\ m > 0\\ \\text{und}\\ n = 0\\\\\n",
"A(m-1, A(m, n-1)) & \\ \\ \\text{falls}\\ m > 0\\ \\text{und}\\ n > 0\n",
"\\end{cases}\n",
"\\end{equation}\n",